Родился иллюстратор в Москве в 1905 году, где и проживал свои последующие года. Закончил среднюю школу, после которой отправился в Московскую школу (она же студия) Рерберга, и обучался там с 1924 по 1930 года. Сначала обучался на факультете связанным с текстильным делом, а позже перешел на факультет, обучавший графике. Завершил учебу и начал заниматься книжной графикой. Во время своего обучения в школе Рерберга, делал иллюстрации журнала "Пионер" (1927-1930).
Начало карьеры
В 1925 г. Алексей Лаптев начинает трудиться художником на постоянной основе в популярных издательствах Москвы. Начиная с 1929 г. работает с графикой книг. С 1930 по 1960 года начинает работать с крупными издательствами Москвы. Алексей Лаптев занимался выполнением разнообразных картин и жанровых композиций.
В 1935 г. занимается заданием выставки Индустрия социализма и отправляется на горы Урала; итогом его путешествия стала серия рисунков "Красноуральские Заводы" (1936 год). С 1937 по 1939 год находился в командировках по колхозам СССР; нарисовал множество рисунков "Украинские колхозы". В 1941 г. отправился на Каспийское море, где нарисовал несколько рисунков, на которых были изображены пейзажи степей и деревни рыбаков.
Военные времена
Во время войны находился в Москве. Работал в бригаде графиков, которые издавали плакаты, листовки на фронте. Работал в "Окна ТАСС" а также издательстве "Искусство", занимался плакатами и открытками, листовками. Посетил во время несколько фронтов; сделал множество иллюстраций с этих фронтов (1942 год), за эти рисунки получил в 1944 году диплом Комитета по делам искусств первой степени.
Послевоенное время: работы, деятельность
В послевоенное время занимался сохранением старинных памятников. Участвовал в молодежном клубе, который занимался охраной старинных объектов. Занимался зарисовыванием сохранившихся памятников древней Руси для выставки архитектуры. Нарисовал серию рисунков "Колхозная серия", портреты рабочих заводов Москвы, путешествий в Италии и Чехословакии.
Успел поработать в журнале для детей "Веселые картинки" с самого момента его создания. Занимался оформлением известных советских книг вроде "Маша-растеряша" а также "Незнайка".
Хоть Алексей Михайлович Лаптев и не имел всемирной известной славы, такой как Илья Репин, Суриков или Васнецовы, но создал множество иллюстраций известных в Советском Союзе.
Он рисовал иллюстрации персонажей для книги Н. Носова, благодаря чему их заполнили многие дети. Благодаря этому иллюстратору в многих советских журналах появились персонажи и рисунки, которые надолго запомнились читателям, и некоторые из них помнятся старшему поколению и по сей день. Успел даже опубликовать несколько своих книг для детей, со своими авторскими рисунками, совмещая это с работой в журнале "Веселые картинки". Можно сказать уверенно, что прожил иллюстратор, художник и поэт прожил свою жизнь не зря, и оставил в памяти людей множество простых, красивых и добрых рисунков.